GRE数学:概率论部分讲解与练习

　　GRE数学:概率论部分讲解与练习

　　1.排列(permutation): 从N个东东(有区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个并作排列,共有几种方法：P(M,N)=N!/(N-M)! 例如:从1-5中取出3个数不重复,问能组成几个三位数？ 解答：P(3,5)=5!/(5-3)!=5!/2!=5*4*3*2*1/(2*1)=5*4*3=60 也可以这样想从五个数中取出三个放三个固定位置 那么第一个位置可以放五个数中任一一个,所以有5种可能选法，那么第二个位置余下四个数中任一个,....4.....，那么第三个位置……3…… 所以总共的排列为5*4*3=60 同理可知如果可以重复选(即取完后可再取),总共的排列是5*5*5=125 2．组合(combination): 从N个东东(可以无区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个(不作排列,即不管取得次序先后),共有几种方法 C(M,N)=P(M,N)/P(M,M)=N!/(M-N)!/M! C(3,5)=P(3,5)/P(3,3)=5!/2!/3!=5*4*3/(1*2*3)=10 可以这样理解：组合与排列的区别就在于取出的M个作不作排列-即M的全排列P(M,M)=M!， 那末他们之间关系就有先做组合再作M的全排列就得到了排列 所以C(M,N)*P(M,M)=P(M,N),由此可得组合公式 性质:C(M,N)=C( (N-M), N ) 即C(3,5)=C( (5-2), 5 )=C(2,5) = 5!/3!/2!=10 3．概率 概率的定义：P=满足某个条件的所有可能情况数量/所有可能情况数量 概率的性质 ：0<=P<=1 1)不相容事件的概率： a,b为两两不相容的事件（即发生了a，就不会发生b) P(a或b)=P(a)+P(b) P(a且b)=P(a)+P(b)=0 (A,B不能同时发生) 2）对立事件的概率: 对立事件就是a+b就是全部情况,所以不是发生a,就是b发生,但是,有一点a,b不能同时发生.例如: a:一件事不发生 b:一件事发生,则A,B是对立事件 显然：P（一件事发生的概率或一件事不发生的概率）=1（必然事件的概率为1） 则一件事发生的概率=1 - 一件事不发生的概率...........公式1 理解抽象的概率最好用集合的概念来讲，否则结合具体体好理解写 a,b不是不相容事件(也就是说a,b有公共部分)分别用集合A和集合B来表示 即集合A与集合B有交集，表示为A*B （a发生且b发生） 集合A与集合B的并集，表示为A U B （a发生或b发生） 则:P（A U B）= P(A)+P(B)-P(A*B).................公式2 3）条件概率： 考虑的是事件A已发生的条件下事件B发生的概率 定义：设A，B是两个事件，且P（A）>0,称 P（B|A）=P（A*B）/P（A）....................公式3 为事件A已发生的条件下事件B发生的概率 理解：就是P（A与B的交集）/P（A集合） 理解: “事件A已发生的条件下事件B发生的概率”，很明显，说这句话的时候，A，B都发生了，求的是A，B同时发生的情况占A发生时的比例，就是A与B同时发生与A发生的概率比。 4）独立事件与概率 两个事件独立也就是说，A，B的发生与否互不影响，A是A，B是B，用公式表示就是P（A|B）=P(A)所以说两个事件同时发生的概率就是： P（A U B）＝P（A）×P（B）................公式4 练习题: 1：A, B独立事件，一个发生的概率是0.6 ，一个是0.8，问：两个中发生一个或都发生的概率 ？ 解答： P＝P(A且!B)+P(B且!A)+P(A且B) =0.6*(1-0.8)+0.8*(1-0.6)+0.6*0.8=0.92 另一个角度,所求概率P=1-P(A,B都不发生) =1-(1-0.8)*(1-0.6)=0.92 2：一道概率题：就是100以内取两个数是6的整倍数的概率. 解答:100以内的倍数有6,12,18,...96共计16个 所以从中取出两个共有16*15种方法,从1-100中取出两个数的方法有99*100种,所以P=(16*15)/(99*100)=12/505=0.024 3：1-350 inclusive 中，在100-299inclusive之间以3,4,5,6,7,8,9结尾的数的概率. 因为100-299中以3,4,5,6,7,8,9结尾的数各有20个,所以 Key:（2*10*7）/350=0.4 4.在1-350中（inclusive），337-350之间整数占的百分比 Key:(359-337+1)/350=4% 5.在E发生的情况下，F发生的概率为0.45，问E不发生的情况下，F发生的概率与0.55比大小 解答:看了原来的答案,我差点要不考G了.无论柳大侠的推理还是那个哥哥的图,都太过分了吧?其实用全概率公式是很好解决这个问题的,还是先用白话文说一遍吧: 某一个事件A的发生总是在一定的其它条件下如B,C,D发生的,也就是说A的概率其实就是在,B,C,D发生的条件下A发生的概率之和.A在B发生时有一个条件概率,在C发生时有一个条件概率,在D发生时有一个条件概率,如果B,C,D包括了A发生的所有的条件.那么,A的概率不就是这几个条件概率之和么. P(A)=P(A|B)+P(A|C)+P(A|D) 好了,看看这个题目就明白了.F发生时,E要么发生,要么不发生,OK? 所以,P(F)=P(F|E)+P(F|!E) 感觉上也没错吧? 给了P(F|E)=0.45,所以 P(F|!E)= P(F)-P(F|E)= P(F)-0.45 如果P(F)=1,那么P(F|!E)=0.55

　　如果0.45=<P(F)<1,那么0=<P(F|!E)<0.55