GRE 数学 sub 公式小节2

　　GRE 数学 sub 公式小节2

　　排列组合题永远有两个主要方向：一个是顺势推导，一个是逆势推导。所谓的“顺势推导”就是直接按照题目给出的思路来排，所谓“逆势推导”就是从大的集群中去反推出结果来。下面我们看一题来看看如何运用这两个思维来推导解决排列组合的难题：

　　EX11： A，B，C，D，E，F排在1，2，3，4，5，6，问A不在1，B不在2，C不在3的排列种数。

　　解析：（1）我们运用顺势推导，A不在1那么可以在其他5个任意一个位置吧，好，B，C分别也类似，其实质上没有什么区别！三个限制加在一起同时考虑时，我们就要思考互相约束了。主要约束就在1，2，3位置上，因此我们分步考虑：

　　好，我们先考虑A在2的时候，这时B没有限制了，因为B不能在2了，而C有限制，不能在3，于是我们再分：当B在3的时候，C就没有限制了，此时N21=P（4，4）=24；而B不在3的时候，则B可以在剩下的四个位置，而C不能在2和3，也不能在B的位置，因此只在剩下的3个位置里，所以N22=P（4，1）*P（3，1）*P（3，3）=72。因此A在2共有N2=N21+N22=96。

　　然后考虑A在3时，此时B有限制，C没有，聪明的读者马上发现其实B与C本质上是“同性元素，所以这里的排列数目应该和上面A在2一样，所以N3=N2=96。

　　然后A到4的时候，形势就不同了，为什么？对，B和C都有约束了，好，复杂了吧，来，思路放清晰就不会有问题，好，还是跟刚才的一样，只是多了一个步骤：

　　我们仍然考虑B，B肯定不在2，那么假设B在3呢，好C就没限制了吧，好，N41=P（4，1）*P（3，3）=24；然后假如B不在3，好，那么B就不在2和3，它可以在其余3个位置，而C呢，它不在3，4和B占的位置，也有三个选择，所以N42=P（3，1）*P（3，1）*P（3，3）=54。好，从而N4=N41+N42=24+54=78。

　　好，下面A在5和6的情况读者可以从上面的推导发现是和A在4时完全一样的，所以N5=N6=N4=78。

　　因此排列总数=N2+N3+N4+N5+N6=96*2+78*3=192+234=426。

　　（2）接下来我们来逆推，从总数里去减去不符合的情况：

　　如果A在1，B，C我们不考虑，那么有P（5，5）=120的种数。同理B，C也是，所以排除第一类N1=3*P（5，5）=360

　　这里面存在的问题就是其中有重复减去同时违背规则的情况，好，我们先来看两种共存违背的情况，把他们加上去就可以了。A在1且B在2的情况P（4，4）=24，同理其他B在2，C在3以及A在1和C在3的情况也一样，所以加上第二类的多排除一遍的N2=3*P（4，4）=3*24=72。

　　然后问题没完，这里由于加了3个交集，所以势必有一个A，B，C共同违反的情况被多加了一次，这个道理就可以直观的像A+B，B+C，C+A它们三者的和等于2*（A+B+C），所以我们还要再把多余的一个违反情况A在1，B在2，C在3排除掉，即N3=P（，3）=6。

　　好，我们确定集合无任何约束的种类为P（6，6）=720，然后我们可以根据上述分析得出排列总数=720-N1+N2-N3=720-360+72-6=426。

　　注：从这里我们看到对于排列组合的较复杂的难题而言，无论是顺势还是逆势，一定要注意“分布走”，条理要清晰，思路要审慎，这样才不会挂一漏万，不会手忙脚乱。只要这点认识有，那么什么难题也难不倒我们！！！

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　　EX12：5辆车排一排，1辆黄的，1辆蓝的，3辆红的且互相没有区别，问有多少种排列。

　　解析：我们根据上面的例题分析，可以灵活注意选用合适的思路，无论“顺势”也好，“逆势”也罢，找到自己最容易上手，有突破点的地方下手是关键。这里我为了说明思考排列组合的题目的思维方式，还是从两方面着眼：

　　（1） 顺势思维：三辆红的没有区别是这道题目唯一的限制条件，我们要把这个限制放进去才因而加大了解题难度，因此我们只有从这里去思考突破：没有区别主要是告诉我们排列不能对红车用，只能用组合，好题目告诉我们这样了，我们来吧，先把红车组合完了，剩下的再排列不就完了？好，三辆红车组合：N’=C(5，3)=10,然后剩下两辆车排列啊：N’’=P(2,2)=2,因此排列总数N=N’*N’’=10*2=20。

　　（2） 逆式思维：先不管限制条件，我先来排出总数来N’=P（5，5）=120。好，限制告诉我们三辆车是不区别的，那么三辆车在前面算总数时是排列出来的，即情况可能性多了个P（3，3）=6，根据我们在排列中的乘法原理，我们很容易得出N=N’/P(3,3)=20。

　　注：这里我主要向大家展示数学中的排列组合是如何思考的。许多考生在网上时常问的概率和组合题往往说是自己“想不到”如何去做，那个思路没有。其实，排列组合需要你去“想”吗？这是中国考生一直以来的误区，样样都要自己去想！！！我们刚才看到，根本不是我们去“想”如何做，是题目告诉我去如何做，我们只要把这个思路借助公式来表达计算不就完了。首先我们知道全排列总数，然后知道题目要我们把限制考虑进去去约束或者去排除不符合的，这个就是基本的思路，也是最有效的思路，按部就班的，不会出任何错！简单吧！！！不要什么理科思维，只要逻辑思维就可以。由于长期从LSAT考试起家，一直摆脱不了LSAT式的逻辑思维，所以对于GRE和GMAT数学总是带着这样那样的逻辑见解，我的直觉总认为其实数学和逻辑没什么两样，尤其在这里，其实就是简单的逻辑组题演变。

　　怎么样？懂了吗？好，刚才的例题，如果再加两辆不可辨的白色的车呢？排列总数多少？读者自己算算！！

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　　EX13：

　　33. Pat will walk from intersection X to intersection Y along a route that is confined to the square grid of four streets and three avenues shown in the map above. How many routes from X to Y can Pat take that have the minimum possible length?

　　(A)Six (B)Eight (C)Ten (D)Fourteen (E)Sixteen

　　解析：这是个变相的排列组合题。许多考生看到题目就晕了，或者埋头就去“穷举”，有必要吗？我们看最短路线不久5个单位线长吗？好，学过物理的读者更能形象体会，从X到Y的位移矢量我们可以按水平和垂直方向分解啊！好，水平方向移动两个单位，竖直方向一样3个单位，是吧？而且我们知道每次移动是一个单位！！！所以5个单位的路程就是两个单位水平位移和3个单位的竖直位移的叠加，而路线不同只是这5个单位位移的出现，也就是排列不同而已，哪个位置排水平位移，哪个位置排竖直位移，仅此而已！！！由于单位位移没有不同处，是“同性”的，所以N=C（5，2）=C（5，3）=10，选择（C）答案。

　　好，我来给道练习给大家巩固一下上面介绍的思路和技巧：

　　练习：3封不同的信A，B，C，4个邮筒1，2，3，4顺次排列：

　　（1） 3封信分别投到4个邮筒里，问有多少种投递方法？

　　（2） （变难）如果告诉你有个邮筒投了两封信，那么有多少种？

　　（3） （再难）如果告诉你，A不能投在1，B不能投在2，C不能投在3，有多少种？

　　（4） （再难）如果告诉你A只能投在1除非B投在4，此时A投在2，那么共有多少种？

　　（5） （再难点，还行吗？）如果告诉你A总是投在和B相隔一个邮筒的邮筒里，而C不能和B投在一个邮筒里，那么又有多少种？

　　（6） （我还能再出难的！）A和B只要不和C相隔一个或一个以上的邮筒，那么就必然投在一起，问总共有多少种？

　　（7） （我还能再把它变难！！！估计有的说没必要了，是吧？我估计ETS也不会再变态成这样了，反正变难是没底的，幸好不是我出GRE数学，呵呵！！！如果出到这样，大家情愿蒙了，我想！所以分析也没有任何意义了！！！但是如果是情书的话，那么万一投错了，这个嘛……我可不负责哦！！！）

　　好，根据上面的操练，我想排列组合题目是没有问题了！！！JUST A PIECE OF CAKE！好，我们来解决概率问题，有了上面的基础，所谓概率就是把出来的排列再去和总数比一比就可以了。下面，套用李永的一句口头禅：“请看题！”

　　问题：5双不同颜色的袜子，任意取两只，是一对的概率有多大？

　　解析：一看题目，马上知道关键是要挑一对袜子出来，是吧？那么挑一对的排列可能是多少，不太简单吗？N=C（5，1）=5嘛！好，那么总共取2只的可能是多少呢？简单啊，不就是C（10，2）=45嘛！好，然后一比，P=5/45=1/9，搞定了！

　　注：许多考生不知道怎么去思考，盲目的按照思维中的症结去绕，比如先随便取一只C（10，1）=10，然后剩下一只要和它成为一对，就一定只能取特定的那个，再然后……如果真要那么思考，也就是放弃组合上的，直接从概率上去思考，未尝不可，比如我们顺着思路来：首先任取一只，既然是任取，我们的概率就是1，因为任取一只，只要可以取到就满足了吧，能肯定取到吗？当然，有10只袜子等着你取呢！！！好，接下来，我们发现只有特定的一只等者我们取，而这只在剩下的9只袜子里，那么取到的概率是多少？当然是1/9了，这9只袜子被取到的概率都是相同的1/9，所以取到一对的概率是P=1*1/9=1/9。

　　怎么样，我们看到其实很简单的问题，只要理清了思路和执行程序，直接用组合也可以，用概率比也可以，关键是弄清楚怎么取和接着怎么取！！！好，懂了？我们接下来把题目改改：

　　EX15：把两只袜子放到有5只袜子的直线排列上，问它们相邻的概率？

　　解析：把两只袜子看成一个整体求出排列总数就可以了，也就是用做逻辑组题时的“捆绑法”，因此N=C（6，1）*P（2，2）=12，注意思考其余的5只袜子的排列我们要考虑吗？注意题目问什么我们排什么，因为5只袜子根本没有条件约束，也就是说他们是“自由”的，所以无论在概率求解的分子和分母上要出现肯定是成对，所以我们不用考虑它们，眼光盯住这两只就可以了！！！所以，两只袜子的排列总数是P（7，2）=42，概率P=12/42=2/7。

　　注：这里我特意选了一题有“虚拟”背景的题，看到好象加起来7只袜子，其实就是2只放到7个位置，在排列组合上“自由元素”永远等同于“没有元素”，这里的“没有”是说没有“元素限制”，不是真正意义上的没有，而“同性元素”永远是排列情况“镜象对称”。这两条原则用好，用活，读者对这类题目就没有任何问题了！！！

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　　练习：还是讲袜子，呵呵！！！（自己别懒，动手算了，再看答案！！！否则永远提不高水平！！！）

　　（1）从6双不同的袜子中任取四只，其中恰有一双配对的概率？

　　解答：P=C（6，1）*C（5，2）*C（2，1）*C（2，1）/C（12，4）=16/33

　　（2）有四双袜子，各双袜子之间没有任何区别，从每双里选一只袜子，恰为两双配对的概率？

　　解答：P=C（4，2）/C（8，4）=3/35

　　（3）有两只红袜子，4只绿袜子，每次从中取一个，取2次，问第二次取到红袜子的概率？

　　解答：P=1*[2/（2+4）]=1/3

　　好，到这里我想我要探讨的——帮助大家突破排列组合和概率上的问题已经解决了，具体的归纳和总结是读者看完文章后的事情，这一步学理工的同学更有体会，谁也帮不了你，建议读者自己在之后总结思索，形成一套笔者所介绍的新的和系统的思维习惯，这在GRE考试中尤为重要，不要在不该失分的数学上失分，然后来懊悔，来骂ETS变态，来骂自己无能丢中国人的脸！为什么好的工作不做在前头呢？亡羊补牢在关键的考试中永远是教训而不是美德，所以希望读者不要仅仅根据现今手里的考题样本而轻视GRE数学，轻视ETS！！！最后祝大家6.12考试成功！！！

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