GRE数学sub的准备

　　1.备考资料

　　Cracking the GRE Math Test, 2nd Edition

　　ETS出版的Practicing to Take the Mathematics Test GRE， 3rdEdtion就不用买了，太贵了（140多美元，只有两套真题。而且书中的一套题目可以在ETS的网站上下载。另一套是谁也没见过的真题）

　　官方真题

　　据留学360介绍，目前能得到的官方真题只有97年和93年的。97年的真题是在free practice book中免费提供的，我已经上传到精华区了，文件名是Math.pdf。不过这套题目难度偏低，属于高考难度。另外一套93年的真题其实是Practicing to Take the Mathematics Test Gre, 2nd Edition，目前没有电子版，有盗版小贩卖。我当时没有做这套题目。如果想做的话，可以找cyclewalker复印，他买了。

　　（提示：以后ETS可能会在官方网站放出包含新的真题的Free Practice Book）

　　REA6套仿真题

　　这就是臭名昭著的那6套题目。正如GFinger所说，题目又偏又难，偏的题目就直接跳过吧（其实做一做也可以，我就都做了）。题目难的好处是让大家对于真实的考试有所准备，最近几年的题目难度有上升的趋势。大家还是认真地把这6套题目做一下吧。（提示：题目我也已经上传了，是寄托天下网友的扫描版，不过打印出来效果还可以）

　　03年和04年的回忆题

　　03年的回忆题我是从寄托天下上下载的，已经上传。04年的回忆题是GFinger师兄提供的，师兄辛苦了，呵呵。回忆题由于其不完整性，只能用于临考前摸清ETS的最新出题动向，不能用来模考。不过ETS的题目重复使用率很高，大家还是认真看看这些题目。

　　（提示：北大数院97级编了一本《如何准备GRE数学专项考试》，由世图出版，里面的内容全部来自于REA的6套仿真题和93年的真题，所以不推荐大家购买）

　　2.考试内容

　　下面列一下sub考试的大致范围。

　　按照ETS的说法，sub考试中50%是微积分方面的题目，25%是线性代数的题目，剩下的25%是其他基本数学内容。

　　Sub考试总的原则是记住基本定义、定理和结论，不要管证明，更不要去记太复杂的内容。

　　（提示：下面我给出了一些我认为比较经典的参考书，一般来说书中的内容都是大大超过了考试内容。如果在平时做题时碰到书中索引查不到的概念，可以到这里查询：mathworld.wolfram.com）

　　（以下内容参考了寄托天下妙手空空的文章）

　　高中知识

　　各种三角诱导公式，和，差，倍，半公式与和差化积，积化和差公式，平面解析几何。

　　说明：Cracking the GRE Math Test里面第一章就是复习高中知识，我看内容基本差不多了，大家也就不用另外找书复习了。

　　数学分析

　　极限，连续的概念，单变量微积分（求导法则，积分法则，微商），多边量微积分及其应用，曲线及曲面积分，场论初步。

　　参考书：张筑生先生的3册《数学分析新讲》，Walter Rudin的Principles of Mathematical Analysis

　　说明：Cracking the GRE Math Test用了两章来复习数学分析，基本够了。我只是另外看了一些场论的公式以及Fourier分析的一点内容。不过sub中有一些数学分析方面的题目很灵活，要你判断一个命题是否正确，对于错误选项如果想不出反例来就有些麻烦了，大家要注意。

　　微分方程

　　基本概念，各种方程的基本解法。

　　参考书：Wolfgang Walter, Ordinary Differential Equations

　　说明：以Cracking the GRE Math Test中的相关章节为主，一般不难。

　　线性代数

　　普通代数，艾森斯坦因法则，行列式，向量空间，多变量方程组解法，特征多项式及特征向量，线形变换及正交变换，度量空间。

　　参考书：镇系之宝，张贤科老师的《高等代数学》，Seymour Lipschutz的Theory and Problems of Linear Algebra

　　说明：Cracking the GRE Math Test这本书里面的东西也差不多够了，不过鉴于sub越来越难，大家还是回去翻翻张老师的书吧。

　　初等数论

　　欧几里得算法，同余式的相关公式，欧拉-费马定理。

　　参考书：冯老师的《整数与多项式》

　　说明：以Cracking the GRE Math Test相关章节为主。

　　抽象代数

　　群论及环域的基本概念及运算法则。

　　参考书：冯老师的《近世代数引论》

　　说明：抽象代数的内容最近几年越来越多，今年考试中考到了极大理想。还好我在做REA的题目的时候碰到了高斯整环的题目，所以回去好好翻了翻书。大家要认真准备这一部分的内容。

　　离散数学

　　命题逻辑，图论初步（基本概念，表示法，邻接and关联距阵，基本运算定理如V+F-E=2），集合论（注意了解一下偏序的概念）。

　　参考书：J. A. Bondy and U.S.R. Murty，Graph theory with applications

　　说明：逻辑的题目比较简单，也就是命题逻辑的基本运算，最多再加上真值表，随便找一本离散数学的书看看基本概念就行了。集合论的题目也比较简单。不过由于系里面没有开图论的课，所以大家还是好好看书，Bondy这本书看看第一章就行了。

　　数值分析

　　高斯迭代法，插值法等基本运算法则。

　　参考书：李庆扬等的《数值计算原理》

　　说明：内容很少，我考试的时候没见过。

　　实变函数

　　可数性概念，可测，可积的概念，度量空间，内积等概念。

　　说明：以Cracking the GRE Math Test相关章节为主。

　　拓扑学

　　邻域系，可数性公理，紧集的概念，基本拓扑性质。

　　参考书：J. R. Munkres, Topology

　　说明：重点，近几年的分量越来越大。以Cracking the GRE Math Test相关章节为主，不过据说考过foundamental group，大家还是好好看看书。

　　复变函数

　　基本概念，解析性（共厄调和的概念），柯西积分定理，Taylor&Laurent展式（重点），保角变换（非重点），留数定理（重点）

　　参考书：方企勤先生的《复变函数教程》，Lars V. Ahlfors的Complex Analysis

　　说明：学过复变就行了，一定要记住基本公式。

　　概率论与统计

　　古典概型，单变量概率分布模型，二项式分布的正态近似

　　参考书：李贤平的《概率论基础》

　　说明：以Cracking the GRE Math Test中相关章节为主，一般来说很简单。不过由于2字班没有学过古典概型（托文sir的福），所以我还是把李贤平的这本书好好看了看。统计方面不用担心，不会有难题，所以不用专门找书看。

　　3.复习计划

　　我从9月中旬开始准备，同时一边上课（只选了19学分，呵呵）一边准备general test，所以战线拉得比较长，断断续续近2个月。如果是像UnitarySpace、Johnwoo、mathbooks这样的牛人来准备，应该半个月就差不多了。下面就说说我的复习安排吧，献丑了。

　　第1-4周：认真钻研Cracking the GRE Math Test。读完之后做书后的仿真题以及97年的真题。（因为还在准备10月23日的general test，所以用了1个月的时间）

　　第5-6周：做REA的6套仿真题，同时复习各科内容，检查自己的知识缺陷。

　　第7周（考前的一个礼拜）：看往年回忆题，同时再把Cracking the GRE Math Test中不熟悉的部分复习一遍，把所做过的题目中做错的题目再看一边。

　　基本就是这样^_^

　　4.应试建议

　　凭我的感觉，数学sub其实就是高考数学选择题的extended version。所以很多高考时做选择题的技巧基本可以照搬（比如排除法，代入法之类的。做了几套模拟题大家的感觉就更深刻了）。其实大家都是高考过来人，不过我还是要废话几句。

　　做题时不用慌，sub的试题难度并不高，都是考基本概念和结论（加上一些变化），时间基本上是刚好够用。虽然最近几年难度有所增加，不过对于清华的学生，只要不粗心，2分半钟内把正确选项选出来基本没有问题。（如果粗心怎么办？回去做几套高考数学题再来……）不过题目难度是逐渐上升的，所以前面做题目的时候还是做快一点，最好每题用时不要超过2分钟。难题出现在45题之后。

　　如果遇到3分钟都做不出来的题目，要坚决放弃，留到最后再做。因为如果为了一道题目而放弃后面的简单题目是非常不值的。

　　如果一道题目一个错误选项都找不出来，最好不要轻易猜答案。Sub每道题的得分期望是0，如果乱猜的话，未必能得更多的分。（当然，如果人品足够好的话……）

　　在平时准备的时候最好熟悉一下答题纸和试题册上相关信息的填涂，不过基本上和General Test差不多。样卷和答题纸在ETS提供的样题中有。

　　每次做模考卷，一定要在170分钟内一次性做完，不能今天做10道，明天做20道。因为sub考试的强度太大（比General Test要不少），如果平时没有训练过的话，到了考场上做到最后20题会受不了的，体力脑力都会透支的。

　　高中知识

　　各种三角诱导公式，和，差，倍，半公式与和差化积，积化和差公式，平面解析几何。

　　说明：Cracking the GRE Math Test里面第一章就是复习高中知识，我看内容基本差不多了，大家也就不用另外找书复习了。

　　数学分析

　　极限，连续的概念，单变量微积分（求导法则，积分法则，微商），多边量微积分及其应用，曲线及曲面积分，场论初步。

　　参考书：张筑生先生的3册《数学分析新讲》，Walter Rudin的Principles of Mathematical Analysis

　　说明：Cracking the GRE Math Test用了两章来复习数学分析，基本够了。我只是另外看了一些场论的公式以及Fourier分析的一点内容。不过sub中有一些数学分析方面的题目很灵活，要你判断一个命题是否正确，对于错误选项如果想不出反例来就有些麻烦了，大家要注意。

　　微分方程

　　基本概念，各种方程的基本解法。

　　参考书：Wolfgang Walter, Ordinary Differential Equations

　　说明：以Cracking the GRE Math Test中的相关章节为主，一般不难。

　　线性代数

　　普通代数，艾森斯坦因法则，行列式，向量空间，多变量方程组解法，特征多项式及特征向量，线形变换及正交变换，度量空间。

　　参考书：镇系之宝，张贤科老师的《高等代数学》，Seymour Lipschutz的Theory and Problems of Linear Algebra

　　说明：Cracking the GRE Math Test这本书里面的东西也差不多够了，不过鉴于sub越来越难，大家还是回去翻翻张老师的书吧。

　　初等数论

　　欧几里得算法，同余式的相关公式，欧拉-费马定理。

　　参考书：冯老师的《整数与多项式》

　　说明：以Cracking the GRE Math Test相关章节为主。

　　抽象代数

　　群论及环域的基本概念及运算法则。

　　参考书：冯老师的《近世代数引论》

　　说明：抽象代数的内容最近几年越来越多，今年考试中考到了极大理想。还好我在做REA的题目的时候碰到了高斯整环的题目，所以回去好好翻了翻书。大家要认真准备这一部分的内容。

　　离散数学

　　命题逻辑，图论初步（基本概念，表示法，邻接and关联距阵，基本运算定理如V+F-E=2），集合论（注意了解一下偏序的概念）。

　　参考书：J. A. Bondy and U.S.R. Murty，Graph theory with applications

　　说明：逻辑的题目比较简单，也就是命题逻辑的基本运算，最多再加上真值表，随便找一本离散数学的书看看基本概念就行了。集合论的题目也比较简单。不过由于系里面没有开图论的课，所以大家还是好好看书，Bondy这本书看看第一章就行了。

　　数值分析

　　高斯迭代法，插值法等基本运算法则。

　　参考书：李庆扬等的《数值计算原理》

　　说明：内容很少，我考试的时候没见过。

　　实变函数

　　可数性概念，可测，可积的概念，度量空间，内积等概念。

　　说明：以Cracking the GRE Math Test相关章节为主。

　　拓扑学

　　邻域系，可数性公理，紧集的概念，基本拓扑性质。

　　参考书：J. R. Munkres, Topology

　　说明：重点，近几年的分量越来越大。以Cracking the GRE Math Test相关章节为主，不过据说考过foundamental group，大家还是好好看看书。

　　复变函数

　　基本概念，解析性（共厄调和的概念），柯西积分定理，Taylor&Laurent展式（重点），保角变换（非重点），留数定理（重点）

　　参考书：方企勤先生的《复变函数教程》，Lars V. Ahlfors的Complex Analysis

　　说明：学过复变就行了，一定要记住基本公式。

　　概率论与统计

　　古典概型，单变量概率分布模型，二项式分布的正态近似

　　参考书：李贤平的《概率论基础》

　　说明：以Cracking the GRE Math Test中相关章节为主，一般来说很简单。不过由于2字班没有学过古典概型（托文sir的福），所以我还是把李贤平的这本书好好看了看。统计方面不用担心，不会有难题，所以不用专门找书看。

　　Sub Maths__写给非数学专业的朋友们

　　aries @ 2005-12-13 13:49

　　[恢复于歪酷浩劫后...]

　　[本文系寄托天下原创，转载请注明出处，谢谢。]

　　时隔一月，记忆消退得厉害，被so猫姐催着写这篇东西，又把那堆笔记和题目翻出来，想起不少值得与大家分享的东西。

　　这里首先要感谢我的一个朋友，是最好的朋友之一，hitomine，目前就读于北大数学系。没有他的帮助，我根本无法入门（也许现在仍没入门），更别谈应付这个考试。从暑假耐心（且不嫌我蠢）地给我补上抽代、复变和拓朴的基本知识，把整套北数的教材借给我，到最后帮我分析考纲，写拓朴摘要和一道道回答在他看来肯定非常弱智的问题，我想，这次考试能顺利通过，完全归结于他的细心和对数学的深刻理解。

　　另我高兴的是，10G他考得很完美，我很高兴，他一定能达成自己的梦想的。（我会把他给我写的复习材料，和我们的邮件对答附于文后，希望对非数学专业的朋友有用。）

　　以下分成五部分

　　1．非数学专业应考策略

　　2．背景及复习历程

　　3．网络资源

　　4．考场实录

　　5．附录

　　附1.hitomine的sub math考纲

　　附2.hitomine的柘朴基础摘要

　　附3.hitomine全程解答GOGO的傻问题

　　第一部分 非数学专业应考策略

　　将hitomine不辞辛苦写的tips分享给大家。

　　“

　　1. 关于新的分类:

　　以上分类不同于ETS给出的官方标准,这是因为充分考虑到了中国考生及中国数学教学的特点而重新归类的,基本符合大多数考生的知识结构特点(包括数学专业的及非数学专业的).

　　2. 关于我们的目标:

　　对于参加这个考试的非申请数学专业的考生目标最好放在56道题,也就是说可以错十道,按照一般中国大学理工科(包括经济)的数学教学内容,模式,要求及水平,上述5个PART必然有一定的偏重.

　　3. 各部分的一些事项:

　　3.1 第一部分是初等的数学(已经按照中国高中大纲RECATEGORIZE过了),基本上包涵了高中的大部分内容，目标是错0道.

　　3.2 第二部分是微积分,也就是国内所说的高数,由于国内高数教学只注意操作,因而某些定性的东西对大家很陌生,一定要注意微积分的背景和意义,另外关于实数空间的拓扑学可能要参考一些数学分析的书籍,但要求很浅,不用多看,多看也看不懂的,这部分我们的目标是错3道以内.

　　3.3 第三部分是线性代数,大约半年多前我惊讶地发现中国很多著名大学的非数学专业的线代教学里,基本不要求线性空间(向量空间)这个概念,因此很多学生也根本不知道,在我看来这是不可想象的,无论从理论还是计算的角度,如果可能的话,希望能够掌握从空间和映射角度看问题的方法,这部分我们的目标是错1道以内.

　　3.4 第四部分是抽象代数,主要就是关于群,环,域这些最简单的代数对象的最基本知识,关键在于对概念的把握和例子,试题中不排除有些需要借助抽象推理的题,但大多数题目只需要从定义的一些简单工作即可,这部分我们的目标是错2道以内.

　　3.5 第五部分是其他,包括很多较为分散的内容,除了一般拓扑学以外,其他基本都很简单.这一部分我们的目标是错4道以内,基本是错在拓扑上,另外不排除一道考到很偏知识的题(甚至超出了我列举的范围,例如很naive的布尔代数).关于拓扑,这应该是第一放弃的题,备考的时候也要先保证其他的.

　　4. 一本有用的参考书:

　　关于第一,二,三部分的参考书,我想大家知道的肯定比我多,做过的书也一定比我多得多,而对于抽象代数,很多考生可能之前没有接触过,也不知道要看什么书学好,掌握到多少好.个人觉得聂灵沼,丁石孙的《代数学引论》(第二版,高等教育出版社)中的第一章内容就足够了.另外该书中第零章的2,3,4节可以帮助某些已经把初等数论的初等知识忘得一干二净的考生重拾这些简单的内容.

　　5. 关于模考题:

　　说实话,关于这件事我也一直感到很无奈,目前我们手头的材料有那6套卷子,但价值不太高,感觉题目级别和官方的卷子有着不小的差别,但是其中很多题目单独拿出来作为练习题却是很好的(这部分见以后的文章)!由于ETS的题目风格怪异,导致国内很多练习书的练习方式几乎全部失效,做ETS的题时还是没有什么感觉,两条路:本身的数学水平提高了,什么题都一样的;多分析你做过的为数不多的ETS式的题.另外官方有一套模考题,这是主要的参考标准.关于这套题,以后还会说的.

　　”

　　我很赞同。补充一句，从这次考试看

　　1． 陈题极端重要

　　2． 数学分析非常重要，由于是概念和基本计算

　　3． 概率论、抽代、实分析和拓朴非常少

　　4． 注意一些基础语汇，如consistent要知道意思

　　第二部分 背景及复习历程

　　事实上，我很清楚自己的数学水平。高中时hitomine坐在我旁边，他是差一点点就进国家队的人，差距不言而喻。最要命的是经济类数学全都是浅尝即止，高等数学重计算轻概念（这个问题最为严重），线性代数甚至都不涉及线性变换这一最最核心的观念，概率论的考试难度更是更小，只和一般的书后习题匹配。所以刚开始的时候hitomine花了老大老大的功夫给我讲数学学科的基本架构，映射、连续这种最最核心且基本的概念；他讲的很生动，而且因为超过一般数学系硕士生（并不夸张）水平，深入浅出，既充分考虑到我的无知，又能用最前沿最核心的观念给我讲基础知识，比如拓朴与分析的对较和对应，代数系统、态射等概念的建立，讲抽代基础的时候，更是把整个代数体系融成一体，使我对线性代数的本质和矩阵所表述的映射观念有了基本的感性认识。对于非数学专业的学生来说，这是自学很难达成的一件事，往往要等看过许多书之后方能有一个初步的感觉。所以我很幸运。

　　这个过程大概有二十天，把高等代数、抽象代数的基本概念，考试涉及的复数函数内容（最简单的部分）和拓朴的一点点皮基础简明扼要地讲给我听。之后我花了二周多装备8T，他则北上读书去了。

　　后面的一个月，我把hitomine留给我的一堆书浏览了一遍，精读了北大“蓝”的抽代讲义（写的真好）和香港大学的一本拓朴讲义（因为是英文写的，而且写得比较易懂），做了数十页A4的笔记；向yuanyuan和froggy借来数分和姚慕生的高代。其间又去旁听数学系的拓朴课，老师很好，但因为我实在没时间做功课，后来渐渐跟不上，听不懂了（这个拓朴好象只考了一道罢）。

　　最后一个月，开始做REA的六套题。对这些题的批评非常多，对他们的评论我赞同。从根本上来说，这些题目与考试完全殊途，很多偏的概念根本没必要知道（比如laplace积分变换）。但我必须说，这六套题对我帮助很大，至少，它们让我基本恢复到了高中时的数学计算水平（这个感觉可能大学里早丢了，这才慢慢捡起来）。我花了很大的功夫，大部分题目都弄懂了，做了五六十页的A4笔记。当然，这个过程仍然少不了hitomine的帮助，在后面的附录里，你们会看到hitomine的回答有多么认真。最后的三套题（两套真题一套cracking题）加上03回忆题至关重要，事实上今年很多很多题就是前两年的题。考前那晚我让hitomine做一份0304答案给我参考，他真的非常够兄弟。可惜因为题目表述问题，很多题没有追究下去，不然也许能考得更好。

　　第三部分 教材和网络资源

　　教材前辈们讲的很多，请参看：

　　http://bbs.gter.net/bbs/viewthread.php?tid=239502&extra=page%3D1%26filter%3Ddigest

　　一本值得推荐的书是《Cracking the GRE Math Test》，Amazon卖12美元。此书争议颇多，主要是觉得题太少太简单。但我觉得，对非申请数学专业的非数学系学生来讲，它把知识点总览了一遍，在这个过程中熟悉了数学的英语表达，有好处。虽然出路方向与真题有差距，真题没有那么多计算，但很多概念和知识点是有针对性的。

　　以下列举电子资源，在gter上都能找到

　　REA题六套

　　——褒贬不一，其偏且怪的出题思路明显不符真题，但有利于提高计算能力

　　97-99practice book，sample92-93，math97（真题），加上ETS邮来的practice book

　　——非常重要，或是ETS的官方样题，或是真题，体现了考试思路

　　第四部分 应考实录

　　考试的过程很顺利。环境不错，上海方面一个教室都没坐满。我前后左右都是数学系的，有不少还是旁听是认识的朋友。心态很好，反正考得差了大不了不寄，或者明年再考。hitomine的策略（第一小时30题，第二小时25题）很有价值，但我贯彻得不够，前面做得慢了，以至后面比较难的题目没时间考虑，留下六题没做，估计另外还错了十道左右罢（所以实在不算是出色的表现）。但考后发现数学系的兄弟也大都没有做完，放了宽心，很轻松地径自回家去了。有一点还需要说一说，170分钟亦短亦长，但实际上真的很长，进了大学长期不持续计算可以会支持不住，所以REA的六套题和三套模考还有另一个好处是培养耐性，非常重要。

　　好了，不说了。像hitomine说的，sub其实是个投机取巧的东西，考的好根本不说明任何问题，但考的差也许能说明一些问题~~~~所以，祝后来的朋友们都让这个无聊考试失去意义罢。再向hitomine致以我的感谢。

　　顺便说一句，我最后的分数，820 92%，在数学系看来实在不算好，但对申请经济学应该可以了。

　　第五部分 附录

　　附1.hitomine的sub math考纲

　　Part I PRELIMINARIES

　　1.1 Basic knowledge of functions

　　1.2 Manipulations of trigonometric functions

　　1.3 Representations, calculations, and simple limits of sequences of numbers

　　1.4 Basic real geometry of dimension 2 and 3, and analytic geometry

　　1.5 Basic theory of arithmetic, number theory

　　1.6 Solving inequalities and using of fundamental inequalities [AM-GM inequality and Cauchy Inequality]

　　1.7 Basic conceptions and manipulations of complex numbers

　　Part II CALCULUS

　　2.1 Topology on space R [limits, continuity, open and closed sets, compactness, bounded sets, and Weierstrass Theorem]

　　2.2 Advance manipulations, properties and meanings of functions of one variable

　　2.2.1 Limits [L‘Hospital Rule]

　　2.2.2 Differentiations, derivatives, some simple Taylor’s expansions

　　2.2.3 Riemannian integral

　　2.3 Calculation and Estimation of local and global (absolute) extreme points and values

　　2.4 Basic differential geometry of curves and surfaces [conception of tangency]

　　2.5 Similar manipulations of functions of two or three variables [rudimentary but Stokes Formula in classical sense are required]

　　2.6 Simple applications of calculus, set mathematical models

　　2.7 Convergence of simple series of numbers [Cauchy Principle]

　　Part III LINEAR ALGEBRA

　　3.1 Conception of vector spaces of finite dimension on fixed basic field (R or C) [linear dependence and independence, base]

　　3.2 Linear maps and transformations, their representations of matrix, rank, kernel (null space), image (range), eigenvalues and eigenvectors

　　3.3 Basic manipulations of matrix and determinations, solving group of linear equations

　　3.4 Vector spaces equipped with an inner product, standard orthogonal base

　　Part IV ABSTRACT ALGEBRA

　　4.1 Groups

　　4.1.1 Basic conceptions and judgments [subgroups, formal subgroups, quotient groups, cosets, index of subgroup, order of element, homomorphism, isomorphism, kernels]

　　4.1.2 Crucial examples [cyclic groups, permutation groups, linear groups]

　　4.1.3 Some simple calculations [order, index, cardinality of coset]

　　4.2 Rings

　　4.2.1 Basic conceptions and judgments [subrings, ideals, quotient rings, homomorphism, isomorphism, kernels]

　　4.2.2 Some qualified rings [integral rings (domains), commutative rings, rings equipped with a unit, and prime ideals, maximal ideals]

　　4.2.3 Crucial examples [rings of integrals, rings of algebraic numbers, rings of matrix]

　　4.3 Fields

　　4.3.1 Basic conceptions and judgments

　　4.3.2 Crucial examples [fields of numbers, finite fields Fp and their characteristics]

　　Part V SUPPLEMENTORY

　　5.1 General topology

　　5.1.1 Basic conceptions [T and C axioms are not required] and judgments

　　5.1.2 Perception of topological properties

　　5.1.3 Topological spaces with distance

　　5.2 Functions of one complex variable

　　5.2.1 Conception of analytic (holomorphic) and its criteria [Cauchy-Riemann Equation]

　　5.2.2 Integral on cycles [the residue formula]

　　5.3 Reading programs (procedures) and relevant naive calculations

　　5.4 Probability theory

　　5.4.1 Basic elements in modern theory of Kolmogolov and relevant manipulations

　　5.4.2 Calculations in classical models of probability

　　5.5 Logic and propositions

　　5.6 Linear program

　　5.7 Combinations and arrangements

　　5.8 Basic statistics

　　附2.hitomine的柘朴基础摘要

　　Rudimentary General Topology

　　1. Topological Spaces

　　1.1 Definition: topology on a set; topological space

　　1.2 Examples: discrete topology; trivial topology

　　2. Basis for a Topology

　　2.1 Definition: basis for a topology

　　2.2 Definition: the product topology; the subspace topology

　　2.3 Definition: equivalence of different topologies

　　3. Closed Sets and Limit Points

　　3.1 Definition: closed sets; closure; interior of a set

　　3.2 Proposition: Let Y be a subspace of X; let A be a subset of Y; let Ac denote the closure of A in X. Then the closure of A in Y equals Ac∩Y.

　　3.3 Proposition: Let A be a subset of the topological space X. (a) Then x∈Ac if and only if every open set U containing x intersects A. (b) Supposing the topology of X is given by a basis, then x∈Ac if and only if every basis element B containing x intersects A.

　　3.4 Definition: limit point (or “cluster point”, “accumulating point”, “point of accumulation”)

　　*3.5 Proposition: Let A be a subset of the topological space X; let A‘ be the set of all limit points of A. Then Ac=A∪A’.

　　4. Continuous Functions (or Maps, Mappings)

　　4.1 Definition: continuous function (compare, as an example, with the analytic version of continuity of f:R->R via the “ε-δ definition”)

　　*4.2 Proposition: Let X and Y be topological spaces; let f:X->Y. Then the following are equivalent: (a) f is continuous; (b) For every subset A of X, one has f(Ac)?f(A)c; (c) For every closed subset B of Y; the set f -1(B) is closed in X; (d) For each x∈X and each neighbourhood V of f(x), there is a neighbourhood U of x such that f(U)?V.

　　4.3 Definition: homeomorphism

　　5. The Metric Topology

　　5.1 Definition: metric; metric topology; metrizable space; bounded set

　　5.2 Examples: the euclidean metric d on Rn; the square metric ρ and their equivalence

　　*5.3 Proposition: Let f:X->Y; let X and Y be metrizable with metrics dX and dY, respectively. Then continuity of f is equivalent to the requirement that given x∈X and given ε>0, there exists δ>0 such that dX(x,y)<δ implies dY(f(x),f(y))<ε.

　　*5.4 The sequence lemma: Let X be a topolgical space; let A?X. If there is a sequence of points of A converging to x, then x∈Ac; the converse holds if X is metrizable.

　　*5.5 Proposition: Let f:X->Y. If the function f is continuous then for every convergent sequence xn->x in X, the sequence f(xn) converges to f(x). The converse holds if X is metrizable.

　　*5.6 Definition: uniformly convergent sequence of functions

　　**5.7 Uniform limit theorem: Let fn:X->Y be a sequence of continuous functions from the topological space X to the metric space Y. If {fn} converges uniformly to f, then f is continuous.

　　6. Connected Spaces

　　6.1 Definition: connected space

　　**6.2 Proposition: A space X is connected if and only if the only subsets of X that are both open and closed in X are the empty set and X itself.

　　*6.3 Proposition: Let A be a connected subspace of X. If A?B?Ac, then B is also connected.

　　*6.4 Proposition: The image of a connected space under a continuous map is connected.

　　6.5 Definition: path connected space

　　*6.6 Proposition: The image of a path connected space under a continuous map is path connected.

　　*6.7 Proposition: A connected space must be path connected, but the converse does not hold universally.

　　7. Compact Spaces

　　7.1 Definition: covering; open covering; compactness

　　*7.2 Proposition: Let Y be a subspace of X.Then Y is compact if and only if any covering of Y by sets open in X contains a finite subcollection covering Y.

　　*7.3 Proposition: Every closed subspace of a compact space is compact.

　　*7.4 Proposition: Every compact subspace of a Hausdorff (we assume the term now whose definition will be required in the later part) space is closed.

　　*7.5 Proposition: The image of a compact space under a continuous map is compact.

　　**7.6 Theorem: Let f:X->Y be a bijective (injective and surjective) continuous function. If X is compact and Y is Hausdorff, then f is a homeomorphism.

　　**7.7 Theorem: A subspace A of Rn is compact if and only if it is closed and bounded (in the euclidean metric d).

　　*7.8 Definition: uniformly continuous function

　　**7.9 Uniform continuity theorem: Let f:X->Y be a continuous map of the compact metric space X to the metric space Y, then f is uniformly continuous.

　　8. Seqentially Compact Spaces

　　8.1 Definition: subsequence; sequentially compact

　　*8.2 Proposition: Compactness implies sequentially compactness, but the converse does not hold universally.

　　*8.3 Proposition: If X is a metrizable space. Then compactness and sequentially compactness are equivalent.

　　**8.4 Bolzano-Weierstraβ theorem: Bounded sequence in Rn must contain a subsequence which converges.

　　9. The Countability Axioms

　　9.1 Definition: the C1 axiom; the C2 axiom; dense

　　9.2 Proposition: A subspace or a countable product of a first-(second-)countable space is first-(second-)countable.

　　9.3 Proposition: Suppose that X has a countable basis. Then: (a) Every open covering of X contains a countable subcollection covering X; (b) There exists a countable subset of X that is dense in X.

　　10 The Separation Axioms

　　10.1 Definition: the T1 axiom; the T2 axiom (or “Hausdorff property”); the T3 axiom; the T4 axiom (T1+T3 is sometimes called regular and normal for T1+T4, but these two terms are not formal and not united)

　　*10.2 Proposition: X satisfies the T1 axiom if and only if every finite subset of X is closed.

　　**10.3 Proposition: In a Hausdorff space, a sequence can never converge to more than one point.

　　10.4 X satisfies the T3 axiom if and only if for every point x and its open neighbourhood W, there exists another open neighbourhood of x whose closure is in W.

　　10.5 X satisfies the T4 axiom if and only if for every closed subset A and its open neighbourhood W, there exists another open neighbourhood of A whose closure is in W.

　　*10.6 Proposition: All metric spaces satisfy all the Ti (i=1,2,3,4) and the C1 axiom.

　　*10.7 Proposition: T1+T3 implies T2; T1+T4 implies T3. But the T4 (T3) axiom can not imply the T3 (T2) axiom if T1 is absent.

　　10.8 Lindel?f theorem: C2+T3 implies T4. (The proof is a little difficult that you could assume it.)

　　**10.9 Examples: special topologies on R which are the resources in many cases and examples

　　*10.10 Proposition: Every compact Hausdorff space satisfies the T4 axiom.

　　Remarks

　　1. The importance of tips is noted by asterisks.

　　2. All definitions and examples can be found easily in almost every basic testbook on general topology.

　　3. Most propositions, lemmas, and theorems are easy to prove that you can take exercises on them.

　　4. The terminologies used in this paper are most formal ones, but in fact not very formal even non-fromal terms appearing in the test are permitted. You should know the terms mentioned here and others ignored.

　　附3.hitomine全程解答GOGO的傻问题

　　以下原封不动的贴上来，细读可以发现我的数学基础之差，很多部分根本没有入门，见笑。只为了不是数学专业的朋友，作一个参考。

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　　仔细做了两套（第一套重做了一遍），做第二套的时候感觉巨差，但分析的时候发现很多elementary的题目，应该是可以做的，还有些地方是概念忘了。总之十道以内，目标甚远。

　　问题

　　TEST 1

　　37. the conjugates of an element are the roots of the irreducible polynormial of which the given element is a root. The conjugates of 根号（根号3+1） over the field of rational numbers are:

　　这题本身没什么好讲的，我的问题是

　　a.题目中的‘over the rational numbers’是不是指四次多项式的系数是有理数，怎么能这么表达呢,为什么要强调有理数,系数应是整理罢。

　　b.答案中为什么要用Eisenstein法多此一举验证p(x)（原四次多项式）的不可约性（irreducibility），那四个根不是显然就是p(x)=0的根么？

　　ANSWER: a. over one field是指在某一给定域上的多项式在该域内的根，因为讲环上的多项式（注意Z是环！）其实是更加复杂的一件事，而对于这道题目是个特殊的情况，你讲Z上还是Q上是一样的，这是有道理的，叫Gauss引理（Z其实是个正规环），这个你不必知道。

　　b. 从逻辑严谨角度将，你找出一个多项式，适合给定的一个数，不能说明它就是极小的，极小的等价于不可约，因此数学上讲是要验证的，但因为这是选择题，所以没有关系了。

　　test1中关于game theory的那一题就算了。

　　TEST 2

　　3.群的index,指群中元素的最小公共阶，即满足a的n次方为单位元对所有a成立的最小正整数n;子群的index，就是陪集的个数

　　19. the number, up to isomorphism, of abelian groups of order 40 is (D: 7)

　　哪儿来的7?答案里是40, 10*4, 8*5, 20*2, 10*2*2, 5*4*2, 5*2*2*2什么意思？不是有限阿贝尔群的结构问题么

　　ANSWER: 它在瞎扯，你说的是对的。它可能是想用第一结构定理，但是那是要求直和因子都是素数幂阶的。我个人习惯用第二结构定理，告诉你的也是这个。你可以根据你的喜好，随便哪个算都是一样的。（但答案这里算法不对！）

　　24. In the partial fractions expansion of (s^2+1)/((s^2-2)*(s^2+3)), the numerater of the fraction with denominator s^2+3 is

　　a.什么叫partial fraction expansion, numerater, denominator

　　b.什么叫Heaviside calculus

　　ANSWER：就是部分分式呀，有理函数的不定积分没学过吗？必然要先把它化成部分分式再积的。那个H算法不用管它，一个小技巧而已。按照一般的方法就行了。一下子接触太多东西会晕的。用错不好。

　　28.in the integral domain D={r+s根号17| r,s是整数}，下列哪些是不可约的：

　　怎么在整环里判断元素是否irreducible，答案里的norm是什么意思

　　ANSWER: 这个问题问的...你连在Z上判断一个数是不是质数都没有办法...没有统一的办法啦，数小的时候就凑，norm是范数的意思，对于二次代数整数环Z[n^(1/2)]，n是个无平凡因子的非0,1整数，它里面的元素a+b[n^(1/2)]都有一个共轭元：a-b[n^(1/2)]（回忆一下，其实你接触过了，而且比这个还复杂点），norm就是它和它的共轭元的积，必然是个整数，并且有norm=0，当且仅当原来那个数就是0。你再复习一下可约性这一小部分，这题中的环和你以前接触的整数环有一点点不一样，可逆元不止是1，-1。

　　50. 一个等腰三角形，两个顶点(1,2)(4,6),inradius of the triangle is 3/2，求面积最大值

　　inradius不是指内切圆半径么，为什么等腰三角形等边上的高是inradius的三倍呢？这个结论会推出三条边相等

　　ANSWER: 对，就是内切圆半径，答案写得很清楚，其实就两种情况，分别算一下，看哪个大。

　　后来确认这题是答案错了。

　　61.求某四边形的centroid of the region的横坐标，给了四点坐标

　　答案里把四边形沿对角线分成两三角形，求两三角形的重心，再取平均

　　但有两条对角线，答案显然有两个。什么意思？

　　ANSWER: 这道题是比较阴险的，因为那个分割不是一般的分割，注意两个三角形关于公共边是轴对称的，这个条件保证了答案这么算是对的，一般情况下，不能这么来。你可以取另一条对角线，但分割后的三角行不再轴对称，接下去也就不是取算术平均那么简单的。要紧的是这么一件事：对于三角形而言，它的顶点重心，边重心，面重心是重合的。但是对于一般四边形是未必的！保险其间，用微积分里万用的方法算一下。这题所说的centroid of the region是指区域也就是面重心，按均匀面密度算。

　　64.在拓朴里，cluster points of set E定义为何，中文是什么呢？mathworld里查不到

　　ANSWER: cluster point一个不太用的术语，到底指什么也不统一。一种是指接触点，但这个概念只可能是相对的，这里不可能。于是这题目中的cluster point只可能指另一个概念：聚点(标准的说法应该是accumulating point)。空间X的子空间A的聚点是这样的点p，p属于集合A{p}的闭包里。而一个点称为cluster point是指它是整个集合X的聚点，这等价于{p}不是开集。

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　　这次问题严重了，一堆不知道要不要的概念，你还是帮忙看一下

　　TEST 3

　　这几题有问题。

　　51.题目本身没问题，但题干里subspace generated by {...}是什么意思，谁的subspace,怎么生成的?另外，除了群有生成元外，环什么的有没有生成元（我想没有罢），有点土的问题，帮我搞搞概念。

　　ANSWER: 所谓“生成”是一种逻辑语言，最一般的说法是：由代数结构的一个子集S生成的子代数结构是指包含S的最小子结构。这道题就是说包含{...}的最小线性子空间，也就是以{...}为一组基（它们线性无关）的线性子空间，是三维的，而原来那个所有函数f:R->R组成的线性空间是无穷维的。

　　60.这是什么题目，是不是隐含了s在t前面这个前提？

　　ANSWER: 它叙述不完整，按答案看，s<t

　　65.实轴上的离散拓朴，我有个问题，既然每个开集同时又是闭的，为什么要包含a,b两点，a,b为什么是accumulating point,他们不是有自身的开集么{a},{b},我选的A。

　　ANSWER: 说的好！你是对的，答案胡来。

　　26.这道题考的是什么，线代的哪部分？这个矩阵表示什么的？

　　ANSWER: 双线性型，二次型你要看一下。二次型和双线性型是可以互换的。主要是一套描述语言，没什么别的新东西。二次型是一样很干净的东西，结论都很清楚漂亮。

　　下面这些，你帮忙确认一下哪些概念是必要的。

　　6.cross radio 这个概念...

　　ANSWER: 交比，是从射影几何里发展出的一个概念，是指一直线上有序四点ABCD的一个数值量。具体我也忘了，等查好告诉你。

　　共点不同四线的交比：任取一直线交四线于依次四点：A,B,C,D，交比=(A,B;C,D)=(AC/CB)*(BD/DA)，该值与所选直线无关。

　　14.关于二次型的判别式，另外ternary是指什么，二次型要不要，要的话看到什么程度

　　ANSWER: 同上，短信说。

　　ternary指三元，这里三元二次型的判别式，大概就是指矩阵的判别式

　　21.坐标轴旋转，不会做，是不是跟二次型有关，那部分要不要看

　　ANSWER: 对，这是解析几何的东西，很简单，你代定一个旋转角，然后代进去看交叉项没的时候，（绝对）角度至少是多少就行了

　　24.尺规作图，什么叫n-gon,看不懂，有没有一般性的简要结论，还是再去看蓝的那本书

　　ANSWER: n-gon是n边形，我再琢磨一下。

　　52.关于非奇次微分方程，要不要？Green function

　　ANSWER: 它用的词还真多...暂且不用。

　　62.Cauchy number。在mathsworld里查出来的还不是一个东西，靠

　　ANSWER: 应该是能拆成对换乘积的最小个数吧。

　　11,22,41这三题你不用看，就是laplace变换，就是背公式，要不要？

　　ANSWER: 这么简单的东西，最多考前一天瞄一下。

　　55.这题你看一下，答案解法很简单很自然，求出两个特征根再做。但问题是死做是972，不是负的，错在哪儿？

　　ANSWER: 一般说来，如果要你求的项比较靠前就死算。这种题目是傻的没有商量的，死做出来（如果你算得没错的话）总是对的。要不统一，肯定是特征值方法里算错了。

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　　第4套非常正常，主要就是elementary,caculus,algebra和probability，拓朴只有一题，复变都没有。

　　但问题还是不少。规定时间里面只做对45题，后来看看应该能做对52题左右，剩下是一些概念问题。

　　TEST 4

　　5.题目看不懂,答案也不懂:formed on rotation有什么特别意思么,还是就角一个椭圆,另外答案里半焦距是9是哪儿来的?

　　ANSWER: 就是将这个椭圆旋转啊，答案什么东西我也不知道，瞎写的！不用管了。

　　7.关于置换群,后来我懂了,他的题目里说了(21453)不是指2->1, 1->4...而是指1->2,2->1我看也没看就做了,结果一个选不出.我的问题是,一般来说(题干说明的除外),有没有他这种表示方法?这种非常见的表示法,怎么能认为他们的乘法就是已定义的呢?

　　ANSWER: 这种表示有啊，我有时也用（在不涉及过多的群元素运算前提下），但是显得比较冗长，必须写满n个（如果是n个元置换的话）。一个置换不管怎么写总是一个映射，映射之间的乘法就是复合，天生有定义的。

　　24.选项C是中uniformly converges to f是什么意思,我觉得任意x,fn都收敛于f,所以C没什么错.应该怎么理解?

　　ANSWER: 一致收敛，你们没学过吗？不会吧，看看稍微高级点的高数书，答案是用了一条命题：如果连续函数列若一致收敛于一函数，则该函数也是连续的。

　　28.这题我完全不能理解答案.其中(i) (132) order=3 偶 (ii) (13) order=2 奇 (iii) (14)(23) order=2，2 偶..上面这些有错么?

　　ANSWER: 它扯得过分了！根本不是这么算的，你把置换典范地写成不相交轮换的乘积，一个轮换涉及的字符若是偶（比如对换）/奇数个，则它是奇/偶的。偶偶得偶之类的还是对的。应该是(i)偶(ii)奇(iii)偶。

　　30.题目中的moment指什么,为什么这个体积里积分的内容是x?

　　ANSWER: 这不怪你，这是物理的东西。moment是惯量，（定轴）转动惯量知道伐？体积元和到轴距离平方的乘积的积分，而这里是相对平面P的惯量，是对如下的积分：dist(dV,P)*dV。dist是相对距离（可以是负的）。

　　34.我根据(My-Nx)/N=-3/x 积出来的积分因子是x^-3, 答案是x^-2.为什么会有不同?

　　ANSWER: 你的算法是什么意思？3怎么出来的？这类方程的积分因子算法是最简单的。y‘-P(x)y=Q(x)形式。

　　44.这道不知道他在讲什么,哪些来的曲线系,不是只有x=y2么?什么意思,要求什么?

　　ANSWER: 上当了吧，那个等式只是说：x=y^2，y是正是负不知道，一定要记住：函数只是个集合间映射！不要想当然的认为函数都是连续的东西！这里y=+/-root(x)，每个x处的正负都可以随便来！因此基本上都可以不连续的，但注意在0这点，它周围无论怎么取正负都是在0附近，直观地说在0这点应该是连续的，严谨的讨论用极限语言就行了，选择题无所谓。

　　45.这题你不用看题目了,我有一个相关的问题:对于有界收敛的无穷级数,其包含无数多个收敛于同一值的的级数.这个结论怎么理解?比如级数sigema(1/4)^n包含于级数sigema(1/2)^n,但它们的值明显不同.

　　ANSWER: 现在说的序列，不是级数，当然如果你记Sn=sigma(k=1->n)(1/4)^k，则{Sn}(n=1->+infinity)是一个（无穷）序列，但是，这样的话{Tn=sigma(k=1->n)(1/2)^k}并不是{Sn}的子序列！{Sn}的子序列是这样的序列{Tk=Snk}其中0<n1<n2<....序列和级数要搞清楚。另外这道题是典型的考R拓扑的题，有点难度的，对于没学过数学分析的人来讲。

　　65.不理解.这题是不是要找出某个一一映射,使得到的像是原集合的真子集?

　　那么这三个不是都可以么?答案说(1,0)不包含在III的像集合里,那么(1,1)不是也不包含在I的像集合里么?

　　ANSWER: translation和rotation是平移和旋转...另外答案对(III)为什么不行的证明是错的。(III)的处理还是有点难度的，但看上去明显不行。

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　　TEST4第32题拓朴y=xsin(1/x)

　　首先它不是紧的，因为unbounded,我的问题是(1)它是不是closed，closed的定义是open的补集，在这里(0,0)没有定义，但是是limit point，它的闭包是闭集，那么这本身能不能说是闭的？(2)简单地说，在欧氏空间里面，怎么定义closed？(3)在后面遇到一题，{(x,y)|1<=x<=2,y=0}，说它既不开又不闭，为什么？(4)此题答案说它是连通的，为什么，我想这跟closed是有关的，(0,0)的左右支能不能说开或闭？

　　ANSWER: （1）审题不清，它说了“together with the origin”了，把原点补进去了，任何集合的闭包当然都是闭集，应该说是一个集合闭包等于它自己等价于它闭。（2）一样啊，E空间的领域更直观，一个个小球。（3）那个集合是闭的呀，你没搞错题？（4）因为它把（0，0）补进去了，所以连通了。不然是不连通的，且你说的也就对了。

　　TEST 5

　　这套非常简单，基本就是elementary和caculus,除去题目有错的题，错7道

　　61.lebesgue measure

　　实分析的一点皮毛，这题考到的是countable subset of [0,1] u(A)=0，只能死记了

　　我的问题是countable怎么定义的，是不是包括有限和countably infinite

　　ANSWER: 可数，就是有限或者可数无限，就是能和N或N的一个子集建立一一对应。

　　60.关于逻辑运算，另外在TEST 6也遇到2道

　　基本的运算明白，取反就是任意改存在，并交互换，但是推出=>和^(交) V(并)!(否)之前有什么关系，怎么理解

　　比如这题：求该命题的否命题：任意x存在y (P(x,y))^!Q(x,y))

　　答案：上面的^!怎么理解，和->什么关系，怎么变换，为什么任意存在不变？

　　ANSWER: 任意存在我们不讲，看后面(P^!Q)的否定，P成立且Q不成立的否是不可能同时有P成立和Q不成立，也就是说若P成立则Q必定也成立，C是对的，或者Q不成立推出P也不成立。

　　TEST6.22，关于(P=>Q)的值，是不是可以这么理解，当p=1时，若Q=1，则(P=>Q)=1？否则为0;P=0时，恒为真。

　　ANSWER: 这题我还要确认一下。这题有点专门了，不太可能考。

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　　TEST 6

　　TEST 6把信心击溃了，发现复变忘了，微积分和线代非常不扎实，规定时间内只做对37题，有十道左右是公式忘了粗心，还有近二十道概念不清，大部分自己解决了。

　　3.可能是分析的东西，为什么认为1,2取得到

　　ANSWER: 我问你1在每个An里面伐啦？显然在咯，那交起来当然也在咯。

　　21.关于不动点，也就是图象跟y=x有交点，III不是明显有交点么，虽然不符合答案f’(x)<1的标准（这个东西怎么出来的）。

　　ANSWER: 我就搞不懂它怎么那么有想象力能写出这种答案...完全莫名其妙。

　　35.题没问题，选项里的skew-symmetric是什么意思，Hermitian阵的概念要不要看？

　　ANSWER: A=-A*，就称A是skew-symmetric，其中*是共轭再转置。hermitian就是复的对称呀，没什么特别啊，复的和实的最肤浅的差别就在于前者的内积对后一个变量是共轭线性的，导致了什么都要共轭一把...

　　37.题没问题，答案里sum-of-angles identity是什么东西，另外他用的什么方法？

　　ANSWER: 和角公式，这个函数是个常数呀。

　　43.这题看不懂，主要是不明白Uxx的物理意义是什么,怎么求这个偏微分方程

　　ANSWER: 题目错了，应该是一端0度，一段10度。这个是没有加热源的热传导方程初值问题，硬解没必要而且不容易，推导要用到Stern-Liouville方程。你想一个木棒，一头控制住0度，一头控制住10度，开始时有一个温度分布，中间没有热交换（端点的温度控制不算作交换），那么时间一场开始的影响就基本没了，常识告诉你此时基本按线性分布...

　　44.什么叫stable，这题是不是解出来，看哪个是奇点？

　　ANSWER: ODE定性理论...考得太难了，我们都不作要求的。如果你不知道微分方程的切线场的话我很难作出简单直观的解释。

　　50.数分的基本常识,但是我基本没有常识,对于I,有条定理说若f(x)一致连续,则成立,否则未必.我的问题是一致连续的形象的认识是什么,为什么幂级数不存在这个问题?I的反例如答案里的f(x)=sin(x2)怎么说明问题?

　　ANSWER: 题目出的有破绽，它根本没说f连续，所以不用想I就是错的。就是说到无穷远那里，它可以不趋向于O，而是在0上下陡得很厉害，而每陡一次对积分的贡献又很小，因此积分收敛，但它自己未必。一致连续就是防止这种“陡”。

　　52.还是微分方程,看不懂,没学过,哪儿的东西;跟线性无关有什么关系

　　ANSWER: 2阶齐次方程的解函数组成的线性空间（显然是个线性空间）是2维的呀，它给了一个叫你再找一个与它线性无关的，就是不要这个的倍数就行了，有直接的公式的，我的常微书在你那吗？

　　62.关于域

　　这个问题很弱智,为什么不是每个域都有有限子域?

　　ANSWER: Q哪来有限子域？只有特征不为零的域才一定含有一个有限子域（例如都有Fp）。